Inecuaciones con valor absoluto
El valor absoluto de un número real a se denota por a y está definido por:
Propiedades
Si a y b son números reales y n es un número entero, entonces:
La noción de valor absoluto surge de una manera natural en problemas de distancia. En una recta coordenada, sean A y B puntos con coordenadas a y b. Debido a que la distancia es siempre no negativa, la distancia d entre A y B es d = b - a cuando B está a la derecha de A (figura a), y d = a - b cuando B está a la izquierda de A (figura b).
Por lo tanto, independientemente de si B está a la derecha o a la izquierda de A, la
Por ejemplo, si b = 9 , entonces b está a 9 unidades del origen, es decir b = 9 ó b = -9 .
Ejemplo 1:
La solución desde el punto de vista geométrico consta de todas las x que están a 4 unidades del punto 3. Hay dos de estos valores de x, x = 7 y x = -1.
Ejemplo 2:
La solución consta de todas las x cuyas distancias al punto 3 sean menores que 4 unidades, es decir, de todas las x que satisfacen:
-1 < x < 7
Este es el intervalo ]-1,7[ que se muestra en la siguiente figura:
La desigualdad dada puede escribirse:
x - (-4) > 2
Por lo tanto, la solución consta de todas las x cuyas distancias de – 4 sean mayores que 2 unidades. Este es el conjunto: ]- ¥,-6[È]- 2,+¥[, el cual se muestra en la figura.
Propiedades
Para cualquier número real x y cualquier número positivo k: